문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 로런츠 군 (문단 편집) == 정의 == [[로런츠 변환]]을 봤으면 알겠지만 로런츠 변환 [math(A)]는[* 편의 상 행렬이라고 하자.] 다음을 만족하는 변환이다. {{{+1 [math(A^T J A = J.)] }}} 여기서 [math(J)]는 대각 성분이 1, -1, -1, -1인[* 이를 계량부호수(metric signature)이라고 한다. 천문학 등의 분야에서는 -1, 1, 1, 1로 주어지기도 하는데 계산할 때 헷갈리는 거 말고는 물리적으로 아무 상관 없다.] 대각 행렬이다. 이런 행렬들을 모두 모은 집합을 이렇게 표기한다. {{{+1 [math(O(1, 3) = \{A \;|\; A^T J A = J\}.)] }}} 특히 이 집합은 행렬의 곱에 대하여 닫혀 있다. 쉽게 확인할 수 있는 사실. 그리고 단위 행렬도 저 집합 안에 들어 가 있고 임의의 [math(A \in O(1, 3))]에 대해 [math(A)]는 역행렬을 가지며[* [math(A^T J A = J)]의 양변에 행렬식을 취해 보면 금방 알 수 있다.] 그 역행렬이 [math(O(1, 3))] 안에 들어가 있다는 것을 밝힐 수 있다. 따라서 이 집합과 행렬의 곱을 묶으면 군(group)이 된다는 것을 알 수 있다. 이것을 '''로런츠 군(Lorentz group)'''이라고 부른다. 참고로 [math(O(1, 3))]의 1과 3은 각각 [math(J)]의 0이 아닌 성분들 중에서 1의 개수와 -1의 개수를 나타낸다. 예를 들어 [math(O(3, 0))]는 [math(J)]가 단순히 단위행렬인 3차 행렬들을 모은 것이 된다. 그런데 이 집합은 다름 아닌 직교 행렬들을 모두 모은 군이다. 실제로 어떤 공간이든 회전 변환은 [math(O(m, n))] 꼴임을 보일 수 있다. 이런 식으로 좌표 회전 변환이 일반화가 되는 것이다. 이 관점에서 봤을 때 로런츠 군 역시 회전들을 모은 군이라고 볼 수 있는 것이다. 특히 이 군의 곱셈과 역행렬로 보내는 사상([math(A \in O(1, 3))]를 [math(A^{-1})]로 보내는 함수 또는 사상)은 미분 가능하다.[* 성분 별로 편미분이 가능하다는 식으로 이해하면 된다.] 따라서 이 군은 리 군(Lie group)이 된다. 더군다나 로런츠 군은 단순 리 군(simple Lie group) 중 하나이다. 이 성질은 매우 중요하다. 왜냐하면 단순 리 군과 그 표현 방법은 전부 다 밝혀져 있으니까. 한편 로런츠 군은 크게 다음과 같이 네 부분으로 쪼갤 수 있다.[* [math((\Lambda)^0_0)]는 [math(\Lambda)]의 1행 1열 성분을 의미한다.] {{{+1 [math(\{ \Lambda \in O(1, 3) \;|\; \det{\Lambda} > 0, (\Lambda)^0_0 > 0 \}, )] }}} {{{+1 [math(\{ \Lambda \in O(1, 3) \;|\; \det{\Lambda} < 0, (\Lambda)^0_0 > 0 \}, )] }}} {{{+1 [math(\{ \Lambda \in O(1, 3) \;|\; \det{\Lambda} > 0, (\Lambda)^0_0 < 0 \}, )] }}} {{{+1 [math(\{ \Lambda \in O(1, 3) \;|\; \det{\Lambda} < 0, (\Lambda)^0_0 < 0 \}.)] }}} 여기서 첫번째 부분과 두번째 부분을 묶어서 orthochronous 로런츠 군이라고 부르고, 첫번째 부분과 세번째 부분을 묶어서 참 로런츠 군(proper Lorentz group)이라고 부르며, 첫번째 부분과 네번째 부분을 묶어서 orthochorous 로런츠 군이라고 부른다. (orthochronous와 orthochorous의 공식 번역이 없는 관계로 영단어만 쓰였다.) 이 네 부분들 각각은 연결집합이지만 서로 연결되어 있지 않다. 그 말은 즉 연속적으로 로런츠 변환을 가할 때 처음에 첫번째 부분의 원소에서 출발했으면 계속 첫번째 부분의 원소이어야지 다른 부분의 원소로 변환이 가해질 수는 없다는 것이다. 또한 proper orthochronous 로런츠 군, 즉 첫번째 부분은 단위원을 포함하며, 단위원을 포함하는 연결집합 중에 제일 크다. 즉, 단위원을 포함하는 컴포넌트인 셈이다. [[리 군]] 이론에 따르면 이 집합의 원소들은 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{+1 [math(A = \exp{(iX)}.)] }}} 여기서 [math(X)]는 미소 변환(infinitesimal transformation)을 나타낸다. 이러한 미소 변환들을 모으면 연산 [math([A, B] = AB - BA)]에 대하여 닫혀 있는 벡터 공간을 얻게 되는데[* 사실 여기에서의 (즉, 물리학자들이 쓰는) 표기에 따르면 연산 [math(\frac{1}{i} [A, B])]에 대해 닫혀 있다고 말해야 맞다. 다르게 말하자면 [math([A, B] = iC)]를 만족하는 원소 [math(C)]가 존재한다는 것이다. 수학자들은 그냥 [math([A, B])]에 대해 닫혀 있는 걸 흔히 말하는데, 여기서 수학자들과 물리학자들의 표기 방식이 차이가 난다는 것을 알 수 있다. 물론 단순한 변환만 취해 주면 대단한 것도 안 되는 일이지만...], 이 공간을 가리켜 '''[[리 대수]](Lie algebra)'''라고 부른다. 모든 리 군(의 단위원을 포함하는 컴포넌트)은 위와 같이 표현이 가능하다. 다르게 표현하자면 모든 리 군은 이에 대응하는 리 대수를 갖는다. 이 정의를 따를 때 [math(A)]가 실수 행렬이므로 여기에 복소 켤레를 취한 결과가 원래 행렬과 같아야 한다. 즉, [math(A^* = (\exp{(iX)})^* = \exp{(-iX^*)} = A)]이어야 하는 것인데, 이로부터 [math(X)]의 모든 성분들이 순허수, 즉 실수 성분이 0인 수이어야 한다는 것을 알 수 있다. 또한 [math(\det{\exp{(iX)}} = \exp{(tr \; (iX))})]인데, [math(\det{(A^T J A)} = (\det{A})^2 \det{J} = \det{J})]로부터 [math(tr \; X = 0)]이어야 함을 얻는다. 그리고 로런츠 군의 경우 로런츠 군의 정의에 의하여 다음이 성립한다. {{{+1 [math(J = A^T J A = A^\dagger J A = \exp{(-i \epsilon X^\dagger)} J \exp{(i \epsilon X)} = \left( \sum_{r = 0}^\infty \frac{(-i \epsilon X^\dagger)^r}{r!} \right) J \left( \sum_{s = 0}^\infty \frac{(i \epsilon X)^s}{s!} \right))] }}} {{{+1 [math(\;\;\; = J + i\epsilon (-X^\dagger J + JX) + \epsilon^2(\cdots).)] }}} 여기서 [math(\epsilon)]는 임의로 도입한 상수이다. 그런데 그 임의성 때문에 위 식으로부터 다음이 성립해야 한다는 것을 알 수 있다. {{{+1 [math(JX = X^\dagger J.)] }}} 이 조건과 앞서 설명한 [math(X)]가 순허수 행렬인 것, 그리고 [math(tr \; X = 0)]인 것이 바로 로런츠 군에 대응하는 리 대수의 한 원소일 조건들이다. 즉, 모든 [math(4 \times 4)]-행렬들 중에 저 조건을 만족하는 모든 행렬이 해당 리 대수의 원소이다. 이 조건들을 살펴보면 이 조건들을 만족하는 행렬들의 성분들 중 실질적으로 독립인 성분의 수들은 6개라는 것을 알 수 있는데, 이로부터 이 리 대수의 차원이 6차원이라는 것을 알 수 있다. 보다 자세한 내용은 아래에서 다루도록 하겠다. 로런츠 군의 원소들을 우리에게 익숙한 꼴로 다루는 것은 [[로런츠 변환]]에서 잘 설명해 두었다. 이 문서에서는 [[로런츠 군]] 그 자체의 고유한 성질을 다루겠다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기